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はじめに
前回まででフーリエの積分公式の導出を行った。
今回からは、そのフーリエの積分公式を元にフーリエ変換、逆フーリエ変換を導出する。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエの積分公式
まずはフーリエの積分公式を再掲しておこう。
\(
\displaystyle f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\bigg\{ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt \bigg\}e^{i\omega t}\,d\omega
\)
フーリエ変換
ここからどう変形するの？
引っこ抜くだけ。
は？
フーリエの積分公式の一部をフーリエ変換として引っこ抜くだけ。
具体的には以下の赤い部分を引っこ抜く。
\(
\displaystyle f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\bigg\{ \frac{1}{2\pi}{\color{red}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt} \bigg\}e^{i\omega t}\,d\omega
\)
これをフーリエ変換として定義する。
\(
\displaystyle F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt
\)
これで終了。
まじかよ・・・。
まぁ、細かい理屈もあるといえばあるのだが、
フーリエの積分公式の段階で、元の関数に戻ることが保証されているため、
変換と逆変換も保証される。
そして、抜き出したフーリエ変換の式も、複素フーリエ係数に起因する部分。
だから、これをフーリエ変換とする。
ってイメージだ。
ここに来て異様に雑になったような・・・。
逆フーリエ変換
フーリエ変換が確定したので、
これをフーリエの積分公式に戻す。
\(
\displaystyle f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega
\)
これが逆フーリエ変換。
そういえば、フーリエの積分公式自体が逆フーリエ変換ってこと言ってたけど、
これのことだったのか。
そうそう。
つまり、フーリエ変換より先に逆フーリエ変換が求まっていたってことだな。
逆変換が先に求めるのもへんな感じだけど、
逆フーリエ変換がフーリエ級数に由来するものと考えると自然ではあるのか。
まとめ
まとめだよ。
- フーリエ変換を定義。
- フーリエの積分公式の一部を抜き出す。
- 逆フーリエ変換を定義。
- フーリエの積分公式にフーリエ変換を代入するだけ。
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