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はじめに
前回でフーリエ変換と逆フーリエ変換の導出を行った。
今回は、パラメータを角周波数から周波数に変えたものを見てみる。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ変換と逆フーリエ変換
まずは、フーリエ変換と逆フーリエ変換を再掲。
フーリエ変換
\(
\displaystyle F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt
\)
逆フーリエ変換
\(
\displaystyle f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega
\)
角周波数から周波数へ
前回導出したフーリエ変換は角周波数\(\omega\)を元に算出するものだ。
まぁ、そういう式になってるね。
これを周波数を元に算出するパターンもある。
というか、角周波数と周波数の違いがわからねぇ・・・
角周波数は、1秒間に何ラジアンの角度が変化するかを示し、単位はラジアン毎秒 (rad/s)。
周波数（f）は、1秒間に何回の周期があるかを示し、単位はヘルツ (Hz)
そういう関係性か。
1秒間の間の角度変化か回数変化の差ってことだな。
つまり、両社の間には、角度と1回転という差しかないと言える。
よって、角周波数と周波数の変換は以下の式になる。
ちなみに、周波数は一般的にfrequencyの略であるfを使うが、
関数を示すfと重複するから、ここではkを使用する。
\(
\omega=2\pi k
\)
なんだこれだけか。
これをフーリエ変換と逆フーリエ変換に適用すると以下になる。
フーリエ変換(周波数型)
\(
\displaystyle F(k)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-2\pi i\omega t}\,dt
\)
逆フーリエ変換(周波数型)
\(
\displaystyle f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(k)e^{2\pi i\omega x}\,d\omega
\)
単に代入しただけだね。
このシリーズでは基本的には角周波数のものを扱うが、
一応周波数で見るものも多いので紹介をしておいたって感じだ。
まとめ
まとめだよ。
- フーリエ変換には角周波数を扱うものと周波数を扱うものがある。
- 角周波数と周波数の間には角度と1回転という差があるのみ。
- よって、周波数に2πをかければ角周波数となる。
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