【入門】行列の存在意義【数値計算】

【入門】行列の存在意義【数値計算】数値計算
【入門】行列の存在意義【数値計算】

MATLAB、Python、Scilab、Juia比較ページはこちら
https://www.simulationroom999.com/blog/comparison-of-matlab-python-scilab/

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はじめに

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較に於ける、

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 その6【行列①】
から、
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 その6【行列⑥】
を1記事にまとめたもの。

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行列の存在意義

基本的には、連立方程式をルールベースで解く手法。
端的に言うと、コンピュータに連立方程式を解かせる手法
連立方程式は中学2年生で習うと思うが、
コンピュータはそれが解けない。
つまり、そのままだと中2未満の能力と言える。

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行列を使って、連立方程式を解いてみる。

尚、ここでは以下の2×2行列の逆行列の公式を使用する。

\(
A=
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
\)

\(
\displaystyle
A^{-1}=
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}^{-1}=
\frac{1}{ad-bc}
\begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{bmatrix}
\)

以下の連立方程式があるとして、

\(
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
2x + 3y = 1 \\
5x + y = 3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\)

これを行列で表現すると以下になる。

\(
\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
5 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 \\
3
\end{bmatrix}
\)

両辺を係数部である行列で割る。
尚、行列に於いて除算というものはなく
正式な呼び名としては「逆行列を掛ける」になる。

\(
\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
5 & 1
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
5 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
5 & 1
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
1 \\
3
\end{bmatrix}
\)

正行列と逆行列を掛けると、単位行列になるため、
左辺の行列は消える。

\(
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
5 & 1
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
1 \\
3
\end{bmatrix}
\)

逆行列については
先の「2×2行列の逆行列の公式」を使用する

\(
\displaystyle
\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
5 & 1
\end{bmatrix}^{-1}=
\frac{1}{2\times-3\times5}
\begin{bmatrix}
1 & -3 \\
-5 & 2
\end{bmatrix}=
\frac{1}{13}
\begin{bmatrix}
1 & -3 \\
-5 & 2
\end{bmatrix}
\)

\(
\displaystyle
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}=
\frac{1}{13}
\begin{bmatrix}
1 & -3 \\
-5 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
2
\end{bmatrix}=
\frac{1}{13}
\begin{bmatrix}
-8 \\
1
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
-8/13 \\
1/13
\end{bmatrix}
\)

これにて連立方程式の解が求まる。

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