【やり直し】回転運動(トルク、角運動量、仕事、仕事率)【高校物理】

【やり直し】回転運動(トルク、角運動量、仕事、仕事率)【高校物理】物理学
スポンサーリンク

はじめに

※ 本記事は以下を親記事とした子記事に該当する。
https://www.simulationroom999.com/blog/mechanics-overview/

今回は力学の中で一番挫折者が多いと思われる極座標系こと回転運動となる。
しかし、弧度法でワンクッション置いたので何となくイメージが湧きやすくなってはいないだろうか。

回転運動はモーター関連を調べる際に避けて通れない。

回転の運動方程式がどのように使われるかの一例として以下参照。

スポンサーリンク

回転運動の各定義

直線運動の時と似たような定義が4つある。

  • トルク\(T[N・m]\)
  • 角運動量\(L[N・m sec]\)
  • 仕事\(W[J]\)
  • 仕事率\(P[W]\)

関係性も直線運動と似た感じになる。(速度→角速度の違いはあるが)

  • 角運動量\(L[N・m sec]\)=トルク\(T[N・m]\)×時間
  • 仕事\(W[J]\)=角運動量\(L[N・m sec]\)×角速度
  • 仕事率\(P[W]\)=仕事\(W[J]\)÷時間

ちなみに仕事と仕事率は直線運動と同じものである。
つまり、この仕事、仕事率が直座標系との直接的な接点となる。

スポンサーリンク

直交座標系と極座標系の接点

まず直交座標速度系の仕事\(W\)は以下になる。
仕事\(W[J]\)
質量\(m[g]\)
速度\(v[m/sec]\)
$$W=\frac{m}{\vec{v}^2}$$

そして極座標角速度系の仕事\(W\)は以下になる。
仕事\(W[J]\)
質量\(m[g]\)
角速度\(ω[rad/sec]\)
回転半径\(r[m]\)
$$W=\frac{m}{(\vec{r}\vec{ω})^2}$$

\(rω\)は円周速度なので、直交座標の速度と等価である。
よって、上記が同一と言える。

この仕事\(W\)を角速度で割ると角運動量\(L\)になる。

$$L=m\vec{r}^2ω$$

さらに、これを角度表現から円周表現に変える
回転距離\(l[m]\)
角度\(θ[rad]\)

$$L=m\vec{r}^2ω$$

\(ω\)は角速度なので、角度\(θ[rad]\)の微分である\(\displaystyle θ\frac{d}{dt}\)と表現できる。

$$L=m\vec{r}^2ω=m\vec{r}^2 θ\frac{d}{dt}$$

\(\vec{r}θ\)は回転距離なので、

$$L=m\vec{r}^2ω=m\vec{r}^2 θ\frac{d}{dt}=mrl\frac{d}{dt}$$

円周速度ベクトルと速度ベクトルの関係は以下になる。
円周速度=速度×\(sin(θ)\)

円周に接する場合は同一(1倍)となり、円周に対して直交すると(0倍)

よって、
$$L=m\vec{r}l sin(θ)\frac{d}{dt}$$

これは外積で表現できるので

$$L=m\vec{r}×l\frac{d}{dt}$$
$$=m\vec{v}×\vec{r}$$

これを時間で割るとトルク\(\vec{T}\)になる。

$$\vec{T}=m\vec{a}×\vec{r}$$

運動方程式\(\vec{F}=m\vec{a}\)より

$$\vec{T}=\vec{F}×\vec{r}$$

これで回転の運動方程式が導出される。

上記は忘れてもらって、以下の表を見れもらえれば良い。

トルク[N・m]、角運動量L[N・m・sec]、仕事W[J]、仕事率P[W]、速度[m/sec]、力[N]、角速度[rad/sec]、角度[rad]、関係性、運動エネルギー、仕事の定義、動力、モーター出力、回転の運動方程式、角運動量の定義、イナーシャ、慣性モーメント、回転の仕事
スポンサーリンク

まとめ

  • 回転運動も直線運動に似た各種定義が存在
    • トルク、角運動量、仕事、仕事率
  • 直交座標と極座標は仕事と仕事率で接続されている
  • 角度から円周に概念を移す際は直線運動の向きの概念が入る。
    • \(sin(θ)\)の関係 → 外積
    • 恐らくこれが混乱の元になっている。
タイトルとURLをコピーしました