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はじめに
アフィン変換のアフィン行列は合成できる。
「行列の積の逆行列」と「逆行列の積」の関係性について。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
「行列の積の逆行列」と「逆行列の積」の関係性を証明？
で、逆行列やら、それらの積やらで前回揉めたけど、
結局何をすればいいんだ？
「行列の積の逆行列」と「逆行列の積」の関係性を証明すればOKだな。
結局何がどうなればOKなの？
先に答えを書いてしまうと以下が成立するはず。
\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
なんだ。
答えは出てるのか。
あとは証明するだけだな。
(それがめんどくさいんだよなぁ。)
前提知識(逆行列の定義)
まずは、前提知識として逆行列の定義を確認しておく。
逆行列の定義？
そうそう。
以下が逆行列の定義だ。
\(
AA^{-1}=A^{-1}A=I
\)
と言う感じで、正行列と逆行列の積に関しては順番関係なく、単位行列になるから、
結果と交換が成立するわけだな。
限定的なルールって感じだね。
普通に代入する
そして、先ほどの以下が成立する場合、
\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
これも成立するはずだよね？
\(
\begin{eqnarray}
(AB)(AB)^{-1}=I\\
(AB)(B^{-1}A^{-1})=I\\
(AB)^{-1}(AB)=I\\
(B^{-1}A^{-1})(AB)=I\\
\end{eqnarray}
\)
まぁ、逆行列の定義も踏まえるとそうなるね。
これを展開して解いていって、本当に\(I\)になれば証明OKって算段だ。
じゃー、とっとと解いていってしまおう。
\(
\begin{eqnarray}
(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1}A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I\\
(B^{-1}A^{-1})(AB)=B(AA^{-1}B^{-1}=BIB^{-1}=BB^{-1}=I\\
\end{eqnarray}
\)
よって、
\(
\begin{eqnarray}
(AB)(B^{-1}A^{-1})=(B^{-1}A^{-1})(AB)=I\\
(AB)(AB)^{-1}=(AB)^{-1}(AB)=I\\
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
\end{eqnarray}
\)
これで証明完了か。
これで、アフィン逆変換の目途もつきそうだ。
まとめ
まとめだよ。
- 「行列の積の逆行列」と「逆行列の積」の関係性を証明。
- 逆行列の定義を利用して証明。
- 最終的にはすべて単位行列になるので等しいという証明方法になる。
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