MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その37【フーリエ係数①】

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その37【フーリエ係数①】 数値計算
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その37【フーリエ係数①】

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https://www.simulationroom999.com/blog/compare-matlabpythonscilabjulia5-backnumber/

はじめに

フーリエ係数に至る道。
今回からフーリエ係数の話に突入。

登場人物

博識フクロウのフクさん

指差しフクロウ

イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1

エンジニア歴8年の太郎くん

技術者太郎

イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1

【再掲】フーリエ係数に至る道

太郎くん
太郎くん

まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。

  • 偶関数
  • 奇関数
  • 関数の内積
  • 三角関数の加法定理
  • 三角関数の積和公式
  • 重要な極限値
  • 三角関数の直交性
  • フーリエ係数
フクさん
フクさん

今回からフーリエ係数の話に突入する。

前回までに求めた三角関数の直交性を示す公式

フクさん
フクさん

フーリエ係数を求めるうえで重要なのが、
前回までに求めた三角関数の直交性を示す公式達になる。

太郎くん
太郎くん

確か、こんな式だよね。

\(
\begin{eqnarray}
&&\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\cos(nx)dx=0\\
&&\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)dx=
\cases{
\pi\dots \text{if } n=m\\
0\dots\text{if } n\neq m
}\\
&&\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)dx=
\cases{
\pi\dots \text{if } n=m\\
0\dots\text{if } n\neq m
}
\end{eqnarray}
\)

フクさん
フクさん

そうそう。
この公式により、\(\sin,\cos\)が直交していることの証明と
\(\sin\cdot\sin\)、\(\cos\cdot\cos\)、の解が\(0\)か\(\pi\)になることが証明された状態となる。

ベクトルの成分を抽出する理屈

フクさん
フクさん

フーリエ係数を求める上で、ベクトルからの成分抽出というのが重要な考え方となる。

太郎くん
太郎くん

成分抽出?

フクさん
フクさん

例えば、\((a,b)\)というベクトルがあり、
これの成分である\(a,b\)をそれぞれ抽出するにはどうすれば良いか。

太郎くん
太郎くん

いやー、見たまんまで\(a,b\)があるってことしか思いつかん・・・。

フクさん
フクさん

それを演算として求めるにはどうするかってことなんだが・・・。

フクさん
フクさん

まぁ、答えとしては、基本ベクトルとの内積を求めればOKという話となる。

太郎くん
太郎くん

基本ベクトル?

フクさん
フクさん

\((1,0)\)、\((0,1)\)みたいなものだな。
試しに図も交えながら、\(a,b\)が抽出されるイメージをとらえてみよう。

ベクトルから成分を抽出、y、x、a、b、(a,b)

\(
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
a&b
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\0
\end{bmatrix}=a\\
\begin{bmatrix}
a&b
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0\\1
\end{bmatrix}=b
\end{eqnarray}
\)

太郎くん
太郎くん

あ、なるほど。
確かに\(a,b\)が抽出できる。

フクさん
フクさん

この感覚を別の軸且つ多変量な空間に対して行うのがフーリエ係数を求めるためのベクトルの内積となる。

太郎くん
太郎くん

(何言ってるのか全く分からねぇ・・・。)

まとめ

フクさん
フクさん

まとめだよ。

  • 前回までに求めた三角関数の直交性を示す公式を再確認。
  • ベクトルの内積によるベクトル成分抽出のイメージを説明。

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