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はじめに
の、
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その100【フーリエの積分公式①】
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その101【フーリエの積分公式②】
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その102【フーリエの積分公式③】
を書き直したもの。
前回は各種フーリエの関係性について説明。
そこからフーリエ変換より先に逆フーリエ変換を求める方が先となる。
実際にはフーリエの積分公式を求めることとなる。
具体的には以下になる。
- 複素フーリエ級数と複素フーリエ係数の組み合わせで変換、逆変換のイメージをつかむ。
- 周期2Lの波の数であるnを周期2πの波の数である角周波数ωに変換。
- 角周波数ωの刻みであるΔωについて言及。
【再掲】複素フーリエ級数、複素フーリエ係数
とりあえず、フーリエの積分公式と呼ばれるものを求めることになるのだが、
どうすれば良いか。
ベースとなるのは複素フーリエ級数と複素フーリエ係数。
これらを再掲する。
複素フーリエ級数
\(
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n^{i\frac{n\pi x}{L}}
\)
複素フーリエ係数
\(
\displaystyle C_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(x)e^{-i\frac{n\pi x}{L}}\,dx
\)
係数から変換の概念へ
ここで複素フーリエ係数の方が、係数算出から変換の概念に変える。
やることは\(f(x)\)と表現している部分を\(f(t)\)と表現しなおすだけ。
これにより、f(t)をf(x)に変換するという考え方に変わる。
\(
\displaystyle C_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(t)e^{-i\frac{n\pi t}{L}}\,dt
\)
この式を複素フーリエ級数に代入する。
\(
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \Big\{\frac{1}{2L}\int_{-L}^Lf(t)^{-i\frac{n\pi t}{L}}\,dt \Big\}e^{i\frac{n\pi x}{L}}
\)
(なんかヤベェ感じになってきた・・・。)
ポイントとしては、
\(f(t)\)から\(f(x)\)の変換の式である。
という点と
\(f(t)\)と\(f(x)\)は同じものである。
ということろ。
複素指数関数との積を取った上で積分とか総和とかするとなぜか元の関数に戻る
ってことになる。
これが変換と逆変換の片鱗ということになる。
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次のページから角周波数への変更と、離散から連続へのアプローチの話。
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