MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 その75【PID制御④】

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はじめに
登場人物
PID制御の離散化は気が重い？
離散化
離散化した結果と見て
まとめ

はじめに

前回はPID制御の基本式と変形式の確認。
変形式は積分を外側に追いやったものでワインドアップ対策がし易い。
よって、こちらが使用されることが多い。

今回は、このPID制御の変形式の離散化を行う。

登場人物

博識フクロウのフクさん

イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1

エンジニア歴8年の太郎くん

イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1

PID制御の離散化は気が重い？

太郎くん

今回はPID制御の離散化か・・・。

フクさん

まぁ覚えるとかじゃなくて、考え方とその過程をしっていれば良いと思うよ。
そんなに頻繁にやることでもないしね。

太郎くん

そういうことなら少し気が楽になった。

離散化

フクさん

ざっと解法を貼ってしまおう。
微分解法はオイラー法だ。
注意点は[Nsec]という単位時間を最終的には\(T_1\)に置き換えて単位時間も調整可能にしている点だな。

\(
u(t)=\int\{K_p \dot{e}(t) + K_i e(t)dt + K_d \ddot{e}(t)\}\dots(変形式)
\)
\(\dot{e}(t)\)と\(\ddot{e}(t)\)をオイラー法で解決する。

\(
\eqalign{
\dot{e}(t)&=&\frac{e(t)-e(t-\Delta T)}{\Delta T[Nsec]}\cr
&=&\frac{e(t)-e(t-\Delta T)}{\Delta T/T_1}\cr
&=&\frac{\{e(t)-e(t-\Delta T)\}T_1}{\Delta T}\cr
}
\)

上記の\(e(t)\)に\(\dot{e}(t)\)を代入することで2階微分となるため、
\(
\eqalign{
\ddot{e}(t)&=&\frac{\{\dot{e}(t)-\dot{e}(t-\Delta T)\}T_1}{\Delta T}\cr
&=&\frac{\displaystyle\frac{\{e(t)-e(t-\Delta T)\}T_1}{\Delta T}-\frac{\{e(t-\Delta T)-e(t-\Delta T-\Delta T)\}T_1}{\Delta T}}{\Delta T}\cr
&=&\frac{T_1}{\Delta T}\{\frac{T_1}{\Delta T}\{e(t)-e(t-\Delta T)\}-\frac{T_1}{\Delta T}\{e(t-\Delta T)-e(t-2\Delta T)\}\}
}
\)

積分に関しては以下で近似

\(
\displaystyle\int x(t)dt=\sum x(t-\Delta T)+x(t)\frac{\Delta T}{T_1}
\)

それぞれをPID制御の変形式に代入する

\(
\eqalign{
u(t)&=&\int\{K_p \dot{e}(t) + K_i e(t)dt + K_d \ddot{e}(t)\}dt\cr
&=&\int\{\color{red}{\{K_p\frac{T_1}{\Delta T}\{e(t)-e(t-\Delta T)\}}\color{black}+K_ie(t)\cr
&+&K_d\frac{T_1}{\Delta T}\{\color{blue}{\{\frac{T_1}{\Delta T}\{e(t)-e(t-\Delta T)\}}\cr
&-&\color{blue}{\frac{T_1}{\Delta T}\{e(t-\Delta T)-e(t-2\Delta T)\}}\color{black}\}\}dt
}
\)