MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第2章 その17【最小二乗法⑯】

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第2章 その17【最小二乗法⑯】 数値計算
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第2章 その17【最小二乗法⑯】

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はじめに

平均、分散、共分散を用いた1次関数最小二乗法の係数算出について。
今回は、以下を実施。

  • 1次関数最小二乗法の途中過程の連立方程式の確認
  • 上記方程式を見た際の平均値、分散、共分散の関連性の雰囲気

登場人物

博識フクロウのフクさん

指差しフクロウ

イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1

エンジニア歴8年の太郎くん

技術者太郎

イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1

【再掲】1次関数最小二乗法の途中過程の連立方程式

フクさん
フクさん

まずは、以前求めた連立方程式を再掲しておこう。

\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle 2a\sum x_i^2 + 2b\sum x_i &=& 2\sum x_i y_i \\
\displaystyle 2a\sum x_i + 2b\sum 1 &=& 2\sum y_i
\end{eqnarray}
\)

太郎くん
太郎くん

そういや、こういう途中式あったね。

フクさん
フクさん

そして、見てわかると思うけど、全体を2で割れる。

太郎くん
太郎くん

確かに。

\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle a\sum x_i^2 + b\sum x_i &=& \sum x_i y_i \\
\displaystyle a\sum x_i + b\sum 1 &=& \sum y_i
\end{eqnarray}
\)

上記方程式を見た際の平均値、分散、共分散の関連性の雰囲気

フクさん
フクさん

この連立方程式に対しての所感を書いていこう。

  • 全体を\(1/n\)したら、それぞれの要素の平均値が求まる。
    • 特に\(\displaystyle b\sum 1 \)に関しては\(b\)が求まりそう。
  • bが求まれば、連立方程式なわけだから、代入して解き切ってしまえば証明終了なはず。
  • \(\displaystyle \sum x_i y_i \)は共分散の変形で解けそう。
  • \(\displaystyle a\sum x_i^2 + b\sum x_i \)は分散の変形で解けそう。
太郎くん
太郎くん

なんか、「解けそう」が連発してて、
本当にそうなの?って思っちゃう。

フクさん
フクさん

まぁあくまで仮説って段階だな。
これが本当かについては実際に解いてみて確認ってことになる。

太郎くん
太郎くん

なるほど。
まずは仮説で大まかな当たりをつけるってことか。

太郎くん
太郎くん

となると、途中で分散、共分散の変形で解けそうとかあるから、
この変形ってのも把握しておく必要があるのか。

フクさん
フクさん

それが次でやることの内容そのものだね。

太郎くん
太郎くん

確かに、実施手順の中にそういうのがあったね。

まとめ

フクさん
フクさん

まとめだよ。

  • 1次関数最小二乗法の途中過程の連立方程式を再確認。
  • 平均値、分散、共分散の関連性の雰囲気で把握。
    • これを仮説としていろいろ確認していく。

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