MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第2章 その40【二次形式の微分④】

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第2章 その40【二次形式の微分④】数値計算
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第2章 その40【二次形式の微分④】

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https://www.simulationroom999.com/blog/compare-matlabpythonscilabjulia2-backnumber/

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はじめに

正規方程式を導出するまでの説明。
今回は二次形式の微分(勾配)を実際の多項式に適用したものをMATLABで算出&プロットしてみる。

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登場人物

博識フクロウのフクさん

指差しフクロウ

イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1

エンジニア歴8年の太郎くん

技術者太郎

イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1

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ロードマップ&数式【再掲】

太郎くん
太郎くん

今回から、各ツール、各言語で、二次形式の微分を確認するんだよね?

フクさん
フクさん

そうそう。
まずはMATLABだな。

太郎くん
太郎くん

その前にロードマップを再確認。
二次形式の微分のところだね。

正規方程式に至る道、二次形式、対称行列、二次形式の微分、グラム行列、二乗和誤差、正規方程式
フクさん
フクさん

そして、扱う式は以下になる。

二次形式の多項式

\(
f(x,y)=3x^2+2y^2+5xy
\)

二次形式の多項式の偏導関数

\(
\displaystyle\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=6x+5y
\)
\(
\displaystyle\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=4y+5x
\)

二次形式の行列形式の偏導関数

\(
\nabla f(x,y) =
\begin{bmatrix}
\displaystyle\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \\
\displaystyle\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}
\end{bmatrix}=
2AX=2
\begin{bmatrix}
3 & 5/2 \\
5/2 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\)

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MATLABコード

フクさん
フクさん

MATLABコードは以下になる。

a=3;
b=2;
c=5;
A=[a c/2; c/2 b];

N=6;
ax=linspace(0,10,N);
ay=linspace(0,10,N);
[x,y]=meshgrid(ax,ay);

polyY1=6*x+5*y;
polyY2=5*x+4*y;
subplot(2,2,1);
mesh(ax, ay, polyY1);
subplot(2,2,2);
mesh(ax, ay, polyY2);

X=[x(:)';y(:)'];
Y=2*A*X;
matY1=reshape(Y(1,:),N,N);
matY2=reshape(Y(2,:),N,N);
subplot(2,2,3);
mesh(ax, ay, matY1);
subplot(2,2,4);
mesh(ax, ay, matY2);

polyY1
polyY2
matY1
matY2
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処理結果

フクさん
フクさん

そして処理結果。

二次形式の微分(MATLAB)、Figure1
polyY1 =

     0    12    24    36    48    60
    10    22    34    46    58    70
    20    32    44    56    68    80
    30    42    54    66    78    90
    40    52    64    76    88   100
    50    62    74    86    98   110


polyY2 =

     0    10    20    30    40    50
     8    18    28    38    48    58
    16    26    36    46    56    66
    24    34    44    54    64    74
    32    42    52    62    72    82
    40    50    60    70    80    90


matY1 =

     0    12    24    36    48    60
    10    22    34    46    58    70
    20    32    44    56    68    80
    30    42    54    66    78    90
    40    52    64    76    88   100
    50    62    74    86    98   110


matY2 =

     0    10    20    30    40    50
     8    18    28    38    48    58
    16    26    36    46    56    66
    24    34    44    54    64    74
    32    42    52    62    72    82
    40    50    60    70    80    90
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考察

太郎くん
太郎くん

二次形式の多項式としての偏導関数と行列形式による偏導関数を元にそれぞれを算出及びプロットしてる感じだね。
結果としては完全一致か。

フクさん
フクさん

そうだね。
算出して点としては、それほど多くないが、それぞれの性質の比較としてはOKだろう。

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まとめ

フクさん
フクさん

まとめだよ。

  • 二次形式の多項式としての偏導関数、行列形式による偏導関数を元にMATLABで算出及びプロット。
  • ともに同一の算出結果とプロットが得られた。

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