角周波数へ
ここで、\(n\)を角周波数\(\omega\)に変更する。
\(n\)の段階では、周期\(2L\)に於ける波の数って感じだったのだが、
これを1周期を\(2\pi\)中の波の数にする感じ。
変換の式は簡単で、以下になる。
\(
\displaystyle \omega_n=n\frac{2\pi}{2L}=\frac{n\pi}{L}
\)
\(2L\)だったものを\(2\pi\)として読み替えるわけだから、こういう式になる。
これにより\(\displaystyle\frac{n\pi}{L}\)を\(\omega_n\)に置き換えられる。
\(
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \Big\{\frac{1}{2L}\int_{-L}^Lf(t)^{-i\omega_n t} \,dt\Big\}e^{i\omega_n x}
\)
ちょっぴりシンプルになった。
ωの刻みをΔωにする
ここで、角周波数\(\omega\)の刻みである\(\Delta\omega\)について考える。
端的に言うと、\(\omega_n-\omega_{n-1}\)を定義するってことにある。
定義方法は普通に導出すればOKだ。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle \Delta\omega&=&\omega_n-\omega_{n-1}=\frac{n\pi}{L}-\frac{(n-1)\pi}{L}=\frac{\pi}{L}\\
L&=&\frac{\pi}{\Delta\omega}
\end{eqnarray}
\)
本当にそのまんま。
これを代入すると以下になる。
\(
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \Big\{\frac{1}{2\pi}\int_{-L}^Lf(t)^{-i\omega_n t} \,dt\Big\}e^{i\omega_n x}\Delta\omega
\)
どんどん式が変化しては行くけど、どこに向かってるかはわからないかもしれない。
方向性としては、
なんとか離散的な係数算出を連続的な周波数算出に持っていきたい
ってところになる。
まとめ
- フーリエに積分公式は複素フーリエ級数と複素フーリエ係数から導出する。
- 周期2Lの波の数を示すnを周期2πに於ける波の数である角周波数ωに変換。
- 角周波数ωの刻みであるΔωについて説明。
- Δωを定義することで、離散的な係数算出が連続的な角周波数算出に近づけていっている。
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