【入門】三角関数の直交性(MATLAB)【数値計算】

【入門】三角関数の直交性(MATLAB)【数値計算】 数値計算
【入門】三角関数の直交性(MATLAB)【数値計算】

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はじめに

の、

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その33【三角関数の直交性⑧】

を書き直したもの。

フーリエ係数に至る道。
今回は三角関数の直交性をMATLABで確認してみる。

【再掲】フーリエ係数に至る道

まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。

  • 偶関数
  • 奇関数
  • 関数の内積
  • 三角関数の加法定理
  • 三角関数の積和公式
  • 重要な極限値
  • 三角関数の直交性
  • フーリエ係数

今回は三角関数の直交性をMATLABで確認してみる。

【再掲】プログラムで確認する内容

以下を今回確認する。

  • \(\sin(x)\cdot\cos(x)=0\)
  • \(\sin(x)\cdot\cos(2x)=0\)
  • \(\sin(x)\cdot\sin(x)=\pi\)
  • \(\cos(2x)\cdot\cos(2x)=\pi\)
  • \(\cos(x)\cdot\sin(2x)=0\)
  • \(\sin(x)\cdot\cos(2x)=0\)

畳み込みを意識してみると良いだろう。

MATLABコード

MATLABコードは以下となる。

N = 1000000;			% 要素数
L = pi;					% 0を中心とした±幅
x = linspace(-L,L,N);	% x軸
dx = 2*L/N;				% Δx

y=sin(x)*cos(x)'*dx;
fprintf('sin(x)・cos(x)=%.5f\n', y)

y=sin(x)*cos(2*x)'*dx;
fprintf('sin(x)・cos(2x)=%.5f\n', y)

y=sin(x)*sin(x)'*dx;
fprintf('sin(x)・sin(x)=%.5f\n', y)

y=cos(2*x)*cos(2*x)'*dx;
fprintf('cos(2x)・cos(2x)=%.5f\n', y)

y=cos(x)*sin(2*x)'*dx;
fprintf('cos(x)・sin(2x)=%.5f\n', y)

y=sin(x)*cos(2*x)'*dx;
fprintf('sin(x)・cos(2x)=%.5f\n', y)

処理結果

処理結果は以下。

sin(x)・cos(x)=0.00000
sin(x)・cos(2x)=-0.00000
sin(x)・sin(x)=3.14159
cos(2x)・cos(2x)=3.14160
cos(x)・sin(2x)=-0.00000
sin(x)・cos(2x)=-0.00000

考察

おおよそ期待通り。
予想通り、演算誤差は出ているが、想定通りと見て良いだろう。

まとめ。

  • 三角関数の直交性をMATLABで確認してみた。
  • 同一の関数及び角周波数の場合はπになり、それ以外は0になる。

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