【入門】微分方程式からCコードへ【数値計算】

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MATLAB、Python、Scilab、Julia比較ページはこちら
https://www.simulationroom999.com/blog/comparison-of-matlab-python-scilab/

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はじめに

の、
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 その53【状態空間モデル⑪】
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 その54【状態空間モデル⑫】
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 その55【状態空間モデル⑬】

を書き直したもの。

本来のネタとしては「状態空間モデルの利用」ではあるのだが、
状態空間モデルの利用しない場合はどうなるか?」の場合を想定した話となる。

対象モデルはシンプルさ重視でニュートンの運動方程式となる。

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状態空間モデルをさらに掘り下げるために

状態空間モデルを掘り下げると、
ベクトル行列演算で微分解決する話になる。

その前に、
状態空間モデルを使用しない場合のシミュレーションのプロセスを大雑把に知っておいた方が良い。

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状態空間モデルを使用せずに普通に微分解決すると?

状態空間モデルを使用せずに微分解決すると以下のような漸化式を導き出すことになる。

運動方程式
\(\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a} \)

加速度、速度、距離の関係
\(\boldsymbol{a}(t)=\boldsymbol{\dot{v}}(t)=\boldsymbol{\ddot{s}}(t) \)

速度の漸化式
\(\boldsymbol{\dot{v}}(t)=\displaystyle \frac{1}{m}\boldsymbol{F}(t)\)
\(\boldsymbol{v}(t)=\boldsymbol{\dot{v}}(t)\Delta T + \boldsymbol{v}(t-\Delta T) \)

距離の漸化式
\(\boldsymbol{\dot{s}}(t)=\boldsymbol{v}(t)\)
\(\boldsymbol{s}(t)=\boldsymbol{\dot{s}}(t)\Delta T + \boldsymbol{s}(t-\Delta T) \)

実際には、以下の手順をたどる。

  • ブロック図(連続系)
  • ブロック図(離散系)
  • 漸化式
  • (フローチャート) → 企業によってあったりなかったり。今回は特にフローチャートは書かない
  • Cコード化
  • Cコードでシミュレーション
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運動方程式のブロック図(連続系)

ブロック図(連続系)は以下となる。

運動方程式のブロック図、力F、速度v、距離s

Simulinkであれば、この状態でシミュレーションは出来てしまう・・・。

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運動方程式のブロック図(離散化)

上記のブロックを離散化すると以下になる。
積分器のところを加算器にさしかえるだけではある。
尚、微分解決の精度はテイラー1次相当になる。

運動方程式のブロック図(離散化)、力F、速度v、距離s

MATLAB/Simulinkであれば、ここからオートコード生成したりもする。

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漸化式

上記のブロック図(離散化)を元に漸化式を求める。

速度の漸化式
\(\boldsymbol{\dot{v}}(t)=\displaystyle \frac{1}{m}\boldsymbol{F}(t)\)
\(\boldsymbol{v}(t)=\boldsymbol{\dot{v}}(t)\Delta T + \boldsymbol{v}(t-\Delta T) \)

距離の漸化式
\(\boldsymbol{\dot{s}}(t)=\boldsymbol{v}(t)\)
\(\boldsymbol{s}(t)=\boldsymbol{\dot{s}}(t)\Delta T + \boldsymbol{s}(t-\Delta T) \)

これでCコード化の準備が出来た状態となる。

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