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はじめに
正規方程式を導出するまでの説明。
今回はから二次形式の微分の話に突入。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
二次形式の微分の位置づけ
今回からは二次形式の微分の話に突入する。
ロードマップを再掲しておくので、位置づけを確認しておくと良いだろう。
前回まででやってきた、二次形式と対称行列を利用する感じなのかな？
そうだね。
二次形式の係数部を対称行列と定義しているため、計算結果がシンプルになる。
どうシンプルになるのかさっぱりだけど、
そこは話を聞いてみればわかるかな。
説明手順
とりあえず、説明手順を書き出しておこう。
- \(\nabla\)(ナブラ)について
- 二次形式の微分(勾配)
- 適当な多項式に当てはめてみる
- 各ツール、各言語で確認してみる。
\(\nabla\)(ナブラ)とか謎の言葉が・・・。
∇(ナブラ)
まず、\(\nabla\)(ナブラ)について。
なんか不穏な感じしかしない。
\(\nabla\)の記号は見たことあるけど。
そんな変なものじゃない。
ベクトルに対しての偏微分だ。
十分以上に変な話だーーーー！！
いやいや、偏微分はなんとなくわかったでしょ？！
まぁ、特定の軸に沿っての微分だから、むしろシンプルになったものだとは聞いた。
ベクトルに対する偏微分は、ベクトルの各要素に対して個別に微分をするってだけで、
これもやはり複雑な事象をシンプルにしてくれる考え方だ。
まぁ一個一個に着目すればシンプルになるってことか・・・。
∇の定義
とりあえず\(\nabla\)の定義を確認しておこう。
\(
\nabla=
\begin{bmatrix}
\partial / \partial x_1 \\
\vdots \\
\partial / \partial x_n \\
\end{bmatrix}
\)
これを\(x_1,\dots, x_n \)のベクトルを持った関数に適用すると以下になる。
\(
\nabla f(x_1,\dots, x_n)=
\begin{bmatrix}
\displaystyle \frac{\partial f(x_1,\dots, x_n)}{\partial x_1} \\
\vdots \\
\displaystyle \frac{\partial f(x_1,\dots, x_n)}{\partial x_n} \\
\end{bmatrix}=
\mathrm{grad} f
\)
ようわからんが、\(x_1,\dots, x_n \)の各要素単位で微分をしたいんだなーってことしかわからんな。
ここではその程度の認識でOKだ。
あと、勾配を示す、\(\mathrm{grad} f\)もあるから、この点も覚えておくと良いだろう。
まとめ
まとめだよ。
- 二次形式の微分についての話へ突入。
- ∇(ナブラ)について説明。
- ベクトルに対しての偏微分。
- 各要素に対しての微分を行うだけなので、複雑な概念ではない。
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