MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その57【マクローリン展開③】

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その57【マクローリン展開③】 数値計算
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その57【マクローリン展開③】

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はじめに

前回はテイラー級数の説明。
今回はマクローリン級数について。

登場人物

博識フクロウのフクさん

指差しフクロウ

イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1

エンジニア歴8年の太郎くん

技術者太郎

イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1

【再掲】複素フーリエ級数に至る道

太郎くん
太郎くん

まずは複素フーリエ級数に至る道を再掲。

  • テイラー級数
  • マクローリン級数
  • 指数関数のマクローリン展開
  • cos(x)のマクローリン展開
  • sin(x)のマクローリン展開
  • オイラーの公式
  • 複素フーリエ級数
フクさん
フクさん

今回は、マクローリン級数。

マクローリン級数

太郎くん
太郎くん

マクローリン級数は名前は良く聞くというのと、
テイラー級数の拡張版みたいな話は良く聞くな。

フクさん
フクさん

まぁ、そういうふうに言われることは多いな。
拡張版とは言われているが、どちらかというを制限版という認識の方が近いだろう。

太郎くん
太郎くん

とすると、実はテイラー級数よりもシンプルになってるとか?

フクさん
フクさん

そうそう。
テイラー級数の任意の点\(x_0\)を原点、つまりは\(x_0\=0)としたものがマクローリン級数。
テイラー級数とマクローリン級数を並べると分かり易いだろう。

テイラー級数

\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)&=&f(x_0)+\frac{f^\prime(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^\prime\prime(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots\\
\displaystyle &=&f(x_0)+\sum_{n=1}^\infty\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
\end{eqnarray}
\)

マクローリン級数

\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)&=&f(0)+\frac{f^\prime(0)}{1!}x+\frac{f^\prime\prime(0)}{2!}x^2+\dots\\
\displaystyle &=&f(0)+\sum_{n=1}^\infty\frac{f^n(0)}{n!}x^n
\end{eqnarray}
\)

太郎くん
太郎くん

確かにむっちゃシンプルになってる!

フクさん
フクさん

というわけで、拡張版と身構えず、制限版と捉えてシンプルになったものを思えばOKだ。

まとめ

フクさん
フクさん

まとめだよ。

  • テイラー級数とマクローリン級数を比較。
    • 任意の点x0が原点になったものがマクローリン級数。
    • よって、テイラー級数の拡張というよりも制限版であり、シンプルになったものと思った方が妥当。

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