MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その58【マクローリン展開④】

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その58【マクローリン展開④】 数値計算
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その58【マクローリン展開④】

バックナンバーはこちら。
https://www.simulationroom999.com/blog/compare-matlabpythonscilabjulia5-backnumber/

はじめに

前回はマクローリン級数の説明。
今回は指数関数のマクローリン展開について。

登場人物

博識フクロウのフクさん

指差しフクロウ

イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1

エンジニア歴8年の太郎くん

技術者太郎

イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1

【再掲】複素フーリエ級数に至る道

太郎くん
太郎くん

まずは複素フーリエ級数に至る道を再掲。

  • テイラー級数
  • マクローリン級数
  • 指数関数のマクローリン展開
  • cos(x)のマクローリン展開
  • sin(x)のマクローリン展開
  • オイラーの公式
  • 複素フーリエ級数
フクさん
フクさん

今回は、指数関数のマクローリン展開。

マクローリン展開

フクさん
フクさん

マクローリン級数の話をしたが、
似たような言葉にマクローリン展開というものがある。

太郎くん
太郎くん

何か違うの?

フクさん
フクさん

ぶっちゃけ同じと思っても問題無いのだが、
厳密には異なる。
簡単に言うと、
マクローリン級数は形式的な級数展開であり、
マクローリン展開はその級数が実際に関数を表す場合を指すな。

太郎くん
太郎くん

(一体何が簡単だったのだろうか・・・。)

フクさん
フクさん

よくわからなければ、とりあえずは同じものと思ってもOKだ。

指数関数のマクローリン展開

フクさん
フクさん

試しに指数関数をマクローリン展開してみよう。
まずは\(e^x\)を微分しまくる

\(
\begin{eqnarray}
f(x)&=&e^x\\
f^{\prime}(x)&=&e^x\\
f^{\prime\prime}(x)&=&e^x\\
f^{\prime\prime\prime}(x)&=&e^x\\
\vdots
\end{eqnarray}
\)

フクさん
フクさん

という感じで変化しない。
つまり、以下と言える。

\(
f(0)=f^{\prime}(0)=f^{\prime\prime}(0)=f^{\prime\prime\prime}(0)=1
\)

太郎くん
太郎くん

指数部が0の時は必ず1になるからか。

フクさん
フクさん

よって、マクローリン展開で表現しなおすと以下になる。

\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)&=&f(0)+\frac{f^\prime(0)}{1!}x+\frac{f^\prime\prime(0)}{2!}x^2+\dots\\
\displaystyle &=&f(0)+\sum_{n=1}^\infty\frac{f^n(0)}{n!}x^n\\
\displaystyle e^x&=&1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots\\
\displaystyle &=& \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}
\end{eqnarray}
\)

太郎くん
太郎くん

むちゃくちゃシンプルじゃん!

指数関数のマクローリン展開の式を元にプロット

フクさん
フクさん

ちなみに、nを徐々に増やしていくとこんな感じになる。

指数関数をマクローリン展開
太郎くん
太郎くん

案の定ではあるけど、
nを増やしていけば近似度合いも上がっていくね。

フクさん
フクさん

こんな感じで、cos関数、sin関数もやっていく予定だ。

まとめ

フクさん
フクさん

まとめだよ。

  • マクローリン展開について説明。
  • 指数関数をマクローリン展開してみた。
  • さらにマクローリン展開したものをグラフ化。
    • nが増えれば近似度合いも上がる。

バックナンバーはこちら。

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