MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第2章 その39【二次形式の微分③】

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第2章 その39【二次形式の微分③】 数値計算
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第2章 その39【二次形式の微分③】

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はじめに

正規方程式を導出するまでの説明。
今回は二次形式の微分(勾配)を実際の多項式に適用してみる。

登場人物

博識フクロウのフクさん

指差しフクロウ

イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1

エンジニア歴8年の太郎くん

技術者太郎

イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1

ロードマップ【再掲】

太郎くん
太郎くん

まずはロードマップの再掲で現在位置の確認。
二次形式の微分のところだね。

正規方程式に至る道、二次形式、対称行列、二次形式の微分、グラム行列、二乗和誤差、正規方程式
フクさん
フクさん

今回は、具体的な多項式に対して、二次形式の微分を求める。
使用する多項式は以下としよう。

\(
f(x,y)=3x^2+2y^2+5xy
\)

∇による偏導関数

フクさん
フクさん

まずは\(\nabla\)による偏導関数。

\(
\nabla f(x,y)=
\begin{bmatrix}
\displaystyle\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\\
\displaystyle\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
6x+5y\\
5x+4y
\end{bmatrix}
\)

フクさん
フクさん

上記を元に以下が成立すればOK

\(
2AX=
\begin{bmatrix}
6x+5y\\
5x+4y
\end{bmatrix}
\)

普通に手計算

太郎くん
太郎くん

あとは、これを各ツール、各言語で確認するって感じか。

フクさん
フクさん

そうだね。
と言っても、実は手計算でも確認できちゃうけどね。

\(
A=
\begin{bmatrix}
3 & 5/2\\
5/2 & 2
\end{bmatrix}
\)
\(
2AX=
2
\begin{bmatrix}
3 & 5/2\\
5/2 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
6x+5y\\
5x+4y
\end{bmatrix}
\)

太郎くん
太郎くん

つまり、ツールで計算させるまでもない!!

フクさん
フクさん

まぁ、ここはツールに慣れることを、目的とした作業になるかもね。

まとめ

フクさん
フクさん

まとめだよ。

  • 具体的な二次形式の多項式に対して微分。
  • ∇による微分結果確認。
  • 二次形式の微分の公式による結果確認。
  • ツールで計算させるまでもないが、一応やっておく。

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