MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その40【フーリエ係数④】

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その40【フーリエ係数④】 数値計算
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その40【フーリエ係数④】

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はじめに

フーリエ係数に至る道。
フーリエ係数を求める式の一般化について。
今回はcos成分中心

登場人物

博識フクロウのフクさん

指差しフクロウ

イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1

エンジニア歴8年の太郎くん

技術者太郎

イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1

【再掲】フーリエ係数に至る道

太郎くん
太郎くん

まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。

  • 偶関数
  • 奇関数
  • 関数の内積
  • 三角関数の加法定理
  • 三角関数の積和公式
  • 重要な極限値
  • 三角関数の直交性
  • フーリエ係数
フクさん
フクさん

今回はフーリエ係数の話の続き。
フーリエ係数を求める式の一般化について。

フーリエ係数を求める式の一般化

太郎くん
太郎くん

前回は、フーリエ係数の\(a_1\)を求めるのをやったね。

フクさん
フクさん

実際には\(a_n\)のnは\(\infty\)までということになってる。

太郎くん
太郎くん

え゛

フクさん
フクさん

というわけで、フーリエ係数を求める式の一般化が必要と言うことになる。

フーリエ係数を求める式の一般化(cos関数)

太郎くん
太郎くん

一般化というと、\(a_1\)以外にも適用可能な式を求めるってことだよね?

フクさん
フクさん

そうだね。
まぁ、前回の流れを知って居れば、それほど難しくはない。
まずはcos関数に着目したものだ。

\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)\cdot\cos(nx)&=&\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))\cdot\cos(nx)\\
\displaystyle &=&\frac{a_0}{2}\cdot\cos(nx)+a_1cos(x)\cdot\cos(nx)+\dots+{\color{red}a_n\cos(nx)\cdot\cos(nx)}+\dots\\
&=&a_n\cos(nx)\cdot\cos(nx)\\
&=&a_n\pi\\
\displaystyle\therefore a_n&=&\frac{f(x)\cdot\cos(nx)}{\pi}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx
\end{eqnarray}
\)

太郎くん
太郎くん

数式の流れとしては、前回\(a_1\)を求めるときと一緒か。

フクさん
フクさん

この式を使えば、どの\(a_n\)でも求められるということになる。

太郎くん
太郎くん

なるほど。
これが一般化ってことか。

まとめ

フクさん
フクさん

まとめだよ。

  • フーリエ係数anを求める式の一般化。
  • 流れとしては前回のa1を求める式と同じ。

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