MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その42【フーリエ係数⑥】

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その42【フーリエ係数⑥】 数値計算
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その42【フーリエ係数⑥】

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はじめに

フーリエ係数に至る道。
フーリエ係数を求める式の一般化のまとめ。

登場人物

博識フクロウのフクさん

指差しフクロウ

イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1

エンジニア歴8年の太郎くん

技術者太郎

イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1

【再掲】フーリエ係数に至る道

太郎くん
太郎くん

まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。

  • 偶関数
  • 奇関数
  • 関数の内積
  • 三角関数の加法定理
  • 三角関数の積和公式
  • 重要な極限値
  • 三角関数の直交性
  • フーリエ係数
フクさん
フクさん

今回はフーリエ係数の話の続き。
フーリエ係数を求める式の一般化のまとめをやる。

フーリエ係数を求めるための一般化した式達

太郎くん
太郎くん

結局、一般化した式は以下3つだね。

\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle a_n&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx\\
\displaystyle b_n&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx\\
\displaystyle a_0&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
\end{eqnarray}
\)

フクさん
フクさん

そうそう。
これらを使用して、フーリエ係数を求めるからちゃんと覚えておこう。

a0が1/2されていた理由

フクさん
フクさん

ここで、フーリエ級数で\(a_0\)が1/2されていた理由を説明しておこう。

太郎くん
太郎くん

そういえば、なぜか1/2にされていたよね。
以前は、何かしら理由があるけど、あとで説明みたいにお茶を濁されたけど。

フクさん
フクさん

(お茶を濁したつもりはないのだが・・・。)

フクさん
フクさん

仮に、フーリエ級数の\(a_0\)が1/2されていない場合、
\(a_0\)を求める式は以下になるな。

\(
\displaystyle a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
\)

太郎くん
太郎くん

他の係数を求める式は\(\displaystyle\frac{1}{\pi}\)になってるのに、
\(a_0\)だけが\(\displaystyle\frac{1}{2\pi}\)になるのか・・・。

フクさん
フクさん

まぁ、それでも求められるから、別になんでも構わないのだけど、
式が切り揃っていないというのも気持ち悪いから1/2している。
って感じだな。

太郎くん
太郎くん

気持ち悪いから1/2というのも変な感じだな・・・。

フクさん
フクさん

実際は\(a_0\)を平均値として扱いたいからなどの理由はあるな。
\(0\sim\pi\)であれば、\(\pi\)で割れば平均値なのだが、
\(-\pi\sim\pi\)の定積分の都合\(2\pi\)で割らないと平均値にならない。
だったら、最初から1/2しとこうってことだな。
1/2しても役割は特に変わらないから、使いやすい数値にするために、数式を弄るということはよくあることだ。

太郎くん
太郎くん

まぁ、覚えやすい形の方が良いもんね。

まとめ

フクさん
フクさん

まとめだよ。

  • フーリエ係数を求める一般化された式のまとめ。
  • a0が1/2されている理由を説明。
    • 見栄えが悪いとか、平均値として扱いたいからなど理由はある。

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