はじめに
※ 本記事は以下を親記事とした子記事に該当する。
https://www.simulationroom999.com/blog/mechanics-overview/
前回、弧度法をやって、今度こそ極座標系に行こかと思ったが、一部外積をやっておかないと説明できない部分が出てきた。
よって、急遽「外積」回を追加。
外積とは
ベクトル積（英語: vector product）とは、ベクトル解析において、3次元の向き付けられた内積空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算である。2つのベクトル a, b (以下、ベクトルは太字で表記)のベクトル積は a×b や [a,b] で表される。演算の記号からクロス積（cross product）と呼ばれることもある。2つのベクトルからスカラーを与える二項演算である内積に対して外積（がいせき）とも呼ばれるが、英語でouter productは直積を意味するので注意を要する。ベクトル積を拡張した外積代数があり、ベクトル積はその3次元における特殊な場合である。
Wikipediaより
ここで逃げないで欲しい。
とりあえず計算手法だけで良いので持って帰って欲しい。
外積の表現は以下になる。
$$\vec{a}×\vec{b}$$
掛け算の「\(×\)」と似ているので紛らわしいが、ベクトル通しを掛けている場合は外積となる。
別名：クロス積、ベクトル積
ちなみに内積は”\(\vec{a}・\vec{b}\)”になる。
別名：ドット積、スカラー積
外積の計算手法
今回に限っては以下だけ覚えておけばOK。
$$|\vec{a}×\vec{b}|=|a||b|sinθ$$
これは円周のどこかに力を加えた際の円周接点と円中心を結んだ中心線との関係性を示している。
円周接線で考えるとcos関数の関係になるが、円周接線から見た中心線は必ず垂直となる。
cos関数の90°ズレはsin関数である。
(実際にはsin側は負数になるが、ノルムとしては同一)
よって、半径という距離ベクトル\(r\)から見た力ベクトル\(F\)と実際に働く力ベクトル\(F_b\)の関係はsinの関係となり、結果として外積の関係になる。
$$|\vec{F_b}|=|\vec{F}cos(θ-90°)|=|\vec{F}sin(θ)|$$
元々の外積の定義からすると、\(\vec{F}\)と\(\vec{r}\)で形成された平行四辺形の面積が外積のノルムとなる。
\(\vec{F_b}\)は、この平行四辺形の底辺を\(\vec{r}\)とした場合の高さに相当する。
まとめ
- 外積をすべて学ぼうとするとまぁまぁなボリュームになる。
- 極座標系に於いては、円周の状態と半径との関係性に使用できる。
- sin関数の関係。
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